Fortschrittliches wissenschaftliches Rechnen
Grundlage: Die Forschungseinheit Fortschrittliches wissenschaftliches Rechnen entwickelt und untersucht numerische und analytische Verfahren zur Lösung komplexer naturwissenschaftlicher und technischer Probleme. Im Mittelpunkt stehen neue Ansätze, die klassische mathematische Modellierung mit Methoden des maschinellen Lernens und der Quanteninformation kombinieren.
Schwerpunkte liegen auf Technologien wie Physics-informed Neural Networks (PiNNs), Kolmogorov-Arnold-Netzen, Quantencomputing oder Computational Fluid Dynamics (CFD). Ziel ist die Entwicklung und Analyse von Verfahren, die physikalische Gesetzmäßigkeiten, funktionalanalytische Strukturen und datengetriebene Modelle konsistent miteinander verbinden.
Die Arbeiten reichen von der theoretischen Untersuchung funktionalanalytischer Eigenschaften neuronaler Netze über die Anwendung quantenmechanischer Verfahren auf chemische Systeme bis hin zur Simulation komplexer Strömungs- und Materialprozesse. Ein besonderer Fokus liegt auf hybriden Verfahren, die klassische und quantenmechanische Berechnungen koppeln und dadurch neue Wege zur Modellierung hochdimensionaler Systeme eröffnen.
Methodische Zugänge: Zum Einsatz kommen Methoden der Funktionalanalysis, Spektral- und Operatorentheorie, Variationsrechnung, partiellen Differentialgleichungen sowie stochastischen Simulation. Ergänzend werden Tensor- und Graphnetzwerke, Monte-Carlo-Verfahren und hybride Optimierungsansätze genutzt.
Im Bereich des Quantencomputings liegt der Fokus auf der algorithmischen und funktionalanalytischen Beschreibung von DCQO- und Quantenchemie-Verfahren sowie auf der Untersuchung der Schnittstellen zwischen quantenmechanischen und klassischen Simulationsmethoden.
Ziel ist die Entwicklung und das tiefere Verständnis von Verfahren, die Rechenleistung, Stabilität und Modelltreue in wissenschaftlichen Anwendungen nachhaltig verbessern.
Aktuelle Forschungsprojekte in dieser Einheit
Funktionalanalytische Bestimmung kontradiabatischer Terme für DCQO
Prämisse: Die effiziente Bestimmung des Grundzustands eines Hamiltonians ist eine der zentralen neuen Möglichkeiten, die das Quantencomputing bietet. Die entsprechenden Verfahren bedeuten einen "Quantensprung" in der Materialforschung, Chemie und Optimierung. Unter den Bedingungen der gegenwärtigen NISQ-Ära (Noisy Intermediate-Scale Quantum) hat sich Digitized Counterdiabatic Quantum Optimization (DCQO) als vielversprechender Ansatz erwiesen: Es ermöglicht eine deutliche Verbesserung der Ergebnisse von adiabatischen Prozessen auch auf fehleranfälliger Hardware, indem kontradiabatische Terme die Systemdynamik stabilisieren. Ihre exakte Berechnung bleibt jedoch analytisch schwierig und numerisch aufwendig – hier setzt das Projekt an.
Ziel: Dieses Forschungsprojekt entwickelt neue Verfahren zur Bestimmung kontradiabatischer Terme für DCQO. Ziel ist es, einerseits Metaheuristiken systematisch zu untersuchen und andererseits funktionalanalytische Methoden einzusetzen, um die zugrunde liegenden Operatorenräume und Wirkungsfunktionen zu approximieren. Dadurch soll eine robuste und verallgemeinerbare Methodik entstehen, die sowohl theoretische Einsicht als auch numerische Effizienz bieten. Hierfür sollen auch konkrete Systeme geschaffen werden, die die entsprechenden Verfahren jedermann zur Verfügung stellen.
Methoden: Zum Einsatz kommen Techniken aus der Funktionalanalysis, Spektraltheorie und Operatorapproximation, ergänzt durch projektive Verfahren in Hilberträumen und variationale Ansätze. Diese werden kombiniert, um kontradiabatische Terme konstruktiv und stabil zu bestimmen. Der Fokus liegt auf der Entwicklung von Näherungsverfahren, die mit reduzierten Ressourcen und begrenzter Kohärenzzeit verlässliche Ergebnisse liefern. Andererseits werden auch Metaheuristiken untersucht und ihr Einsatz erprobt.
Forschungseinheit: Fortschrittliches wissenschaftliches Rechnen
Möglichkeiten und Weiterentwicklungen von KAN
Prämisse: Machine Learning ist im Kern eigentlich Funktionenapproximation. Daher liegt es nahe, an ML mit klassischen Verfahren und Methoden aus der Funktionalanalysis heranzugehen. Andererseits hat sich gezeigt, dass klassische Funktionenapproximation dimensional explodiert und schlecht zu trainieren ist. Deswegen haben sich simple Modelle wie neuronale Netze als de facto Standard im ML etabliert. Kolmogorov-Arnold-Netze stellen einen Kompromiss zwischen Netzstruktur und funktionalanalytischen Verfahren dar.
Ziel: Das Projekt zielt darauf ab, KAN insbesondere unter Nutzung von Chebyshev-Polynomen zu erforschen, etwa optimale Netz-Topologien für bestimmte Einsätze sowie insbesondere Trainingsroutinen zu erproben.
Methoden: In diesem Projekt kommen insbesondere Methoden der Funktionalanalysis zum Einsatz.
Forschungseinheit: Fortschrittliches wissenschaftliches Rechnen
Publikationen in dieser Forschungseinheit
derzeit keine